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高级三角公式
成绩单
现在我们可以讨论一些高级的三角公式。在这个视频中，我将讨论一些先进的公式三角。
As a general rule, you don't need to have anything in this video memorized. I'm gonna show you some complicated formulas.
你只需要能够在测试向你展示的时候使用这些公式。
提前熟悉这些公式会使这更容易。 首先，我称之为标志规则。这第一类有规则的时候，积极的和消极的 x的负面信号改变了。正弦（-x）=-正弦（x），但是 余弦（-x）=只是余弦（x）。
在从零开始的单位圆中，如果我们顺时针移动某个角，然后逆时针移动同一个角，我们将到达 opposite y-coordinates and the same x-coordinates. So in other words, we're gonna move this way and this way. And those two points have the exact same x-coordinate, but they have opposite y-coordinates.
这就是为什么正弦，正弦（x）是彼此的负数，而余弦（x）是相同的。 这些公式对图形的形状有影响。标准余弦图是其自身在y轴上的反射。 正弦图是在原点周围180度旋转对称下的自身图像。
如果你熟悉偶数函数和奇数函数的概念，余弦是偶数函数，正弦是奇数函数。 如果你理解了这一点，那就很容易知道了，但是ACT并没有问这些对称性。 Next we'll talk about the angle addition and subtraction rules. We can derive the exact values of sine and cosine for three acute angles, π大于6，π大于4，π大于3。
这些是我们在特殊三角形中的角度。如果我们用不同的组合加上或减去这些角度， 我们可以多找几个角度。数学家们推导出了正弦或 两个已知角度之和或差的余弦。假设α和β是 我们知道正弦和余弦的值。
These four formulas are the sine(alpha + beta), the sine(alpha- beta), the cosine(alpha + beta), and the cosine(alpha- beta). 所以，再一次，你不必记住这四个复杂的公式。如果你想知道的话，测试会给你其中一个。 But it's useful to practice with them so if you are given one in a problem, it is familiar.
Here's a practice problem. Pause the video and then we'll talk about this. 好的，对于QI角，象限I角alpha和beta，正弦（alpha）是五分之三 余弦（β）是十三分之十二。考虑到这一点，求余弦（α+β）。
首先，我们要做的是，我们要认识到，我们正在处理一些非常重要的毕达哥拉斯三胞胎。 And if the idea of Pythagorean triplets are not familiar to you, I'd suggest go back and watch the video Right Triangle, in the section on geometry. 我们在处理这些毕达哥拉斯三胞胎，3，4，5和5，12，13。注意α有五分之三的正弦值， 我们看到相邻的腿是4。
β的余弦是十二三分之一，所以对边是5。这意味着我们可以找到余弦（α），也就是五分之四 正弦（β），就是十三分之五。现在我们有了这四个值，我们可以插入公式。 他们给出了余弦（α+β）=余弦α-余弦β-正弦α-正弦β的公式。
所以我们把这些值都加进去，乘以。我们得到了四十八个五分之六十到十五个五分之六十， 就是三十五分之三十三。答案选择A就是答案。 接下来，我们将讨论非直角三角形的公式。索赫塔人的关系对我来说是美妙的 求解直角三角形的边，但几何中的大多数三角形和现实生活中的许多三角形都不是直角三角形。
For this, we'll follow the conventions that vertices are denoted by capital letters, which also serve as the angle names. 每边都是同一个字母的小写字母作为它的相对顶点。举个例子，这里有三个顶点，A，B，C，和相反的 从角度看是由同一个字母的小写字母表示的边。所以对于任何三角形ABC，有两条重要的规则 这些非直角三角形。
其中之一是余弦定律，它是勾股定理的一种推广版本，然后是正弦定律。 So given the numerical values in a combination SAS, that is to say side, side, and an included angle, or ASA, angle, angle and an included side. 或者AAS，两个角和一个不包含的边，或者全部三个边，SSS。注意，这四个组合决定了一个三角形。
它们很适合三角形同余。所以如果我们在这些组合中给出数值， 我们可以找到三角形的所有其他角和边。这里有个练习题。 Pause the video and then we'll talk about this. Okay, so here we're given side, side, side.
We're given the three side lengths. And we want to find the cosine of angle C, cosine of that larger angle. It kind of appears from the diagram that that angle is an obtuse angle, an angle greater than 90 degrees. 所以我们实际上期望它的余弦是负的。所以这只是一个预测。
让我们看看这些数字是如何证明这一点的。插进去，我们得到2的平方，也就是4+3的平方， 也就是9-12余弦C=16。减去9和4。 我们得到-12余弦C = 16 - 9 - 4,这是3。Divide by -12, we get cosine(C) = 3 divided by -12, 或者-3/12，也就是-1/4。
所以实际上，余弦是负的。答案是D。 你不需要记住这里讨论的规则。不过，对他们做足够多的练习题是很好的，所以 you are familiar with them, and are comfortable with using them. So that way if you have a problem, the test hands you the formula and 说用这个，你已经习惯了。
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提前熟悉这些公式会使这更容易。 首先，我称之为标志规则。这第一类有规则的时候，积极的和消极的 x的负面信号改变了。正弦（-x）=-正弦（x），但是 余弦（-x）=只是余弦（x）。
在从零开始的单位圆中，如果我们顺时针移动某个角，然后逆时针移动同一个角，我们将到达 opposite y-coordinates and the same x-coordinates. So in other words, we're gonna move this way and this way. And those two points have the exact same x-coordinate, but they have opposite y-coordinates.
这就是为什么正弦，正弦（x）是彼此的负数，而余弦（x）是相同的。 这些公式对图形的形状有影响。标准余弦图是其自身在y轴上的反射。 正弦图是在原点周围180度旋转对称下的自身图像。
如果你熟悉偶数函数和奇数函数的概念，余弦是偶数函数，正弦是奇数函数。 如果你理解了这一点，那就很容易知道了，但是ACT并没有问这些对称性。 Next we'll talk about the angle addition and subtraction rules. We can derive the exact values of sine and cosine for three acute angles, π大于6，π大于4，π大于3。
这些是我们在特殊三角形中的角度。如果我们用不同的组合加上或减去这些角度， 我们可以多找几个角度。数学家们推导出了正弦或 两个已知角度之和或差的余弦。假设α和β是 我们知道正弦和余弦的值。
These four formulas are the sine(alpha + beta), the sine(alpha- beta), the cosine(alpha + beta), and the cosine(alpha- beta). 所以，再一次，你不必记住这四个复杂的公式。如果你想知道的话，测试会给你其中一个。 But it's useful to practice with them so if you are given one in a problem, it is familiar.
Here's a practice problem. Pause the video and then we'll talk about this. 好的，对于QI角，象限I角alpha和beta，正弦（alpha）是五分之三 余弦（β）是十三分之十二。考虑到这一点，求余弦（α+β）。
首先，我们要做的是，我们要认识到，我们正在处理一些非常重要的毕达哥拉斯三胞胎。 And if the idea of Pythagorean triplets are not familiar to you, I'd suggest go back and watch the video Right Triangle, in the section on geometry. 我们在处理这些毕达哥拉斯三胞胎，3，4，5和5，12，13。注意α有五分之三的正弦值， 我们看到相邻的腿是4。
β的余弦是十二三分之一，所以对边是5。这意味着我们可以找到余弦（α），也就是五分之四 正弦（β），就是十三分之五。现在我们有了这四个值，我们可以插入公式。 他们给出了余弦（α+β）=余弦α-余弦β-正弦α-正弦β的公式。
所以我们把这些值都加进去，乘以。我们得到了四十八个五分之六十到十五个五分之六十， 就是三十五分之三十三。答案选择A就是答案。 接下来，我们将讨论非直角三角形的公式。索赫塔人的关系对我来说是美妙的 求解直角三角形的边，但几何中的大多数三角形和现实生活中的许多三角形都不是直角三角形。
For this, we'll follow the conventions that vertices are denoted by capital letters, which also serve as the angle names. 每边都是同一个字母的小写字母作为它的相对顶点。举个例子，这里有三个顶点，A，B，C，和相反的 从角度看是由同一个字母的小写字母表示的边。所以对于任何三角形ABC，有两条重要的规则 这些非直角三角形。
其中之一是余弦定律，它是勾股定理的一种推广版本，然后是正弦定律。 So given the numerical values in a combination SAS, that is to say side, side, and an included angle, or ASA, angle, angle and an included side. 或者AAS，两个角和一个不包含的边，或者全部三个边，SSS。注意，这四个组合决定了一个三角形。
它们很适合三角形同余。所以如果我们在这些组合中给出数值， 我们可以找到三角形的所有其他角和边。这里有个练习题。 Pause the video and then we'll talk about this. Okay, so here we're given side, side, side.
We're given the three side lengths. And we want to find the cosine of angle C, cosine of that larger angle. It kind of appears from the diagram that that angle is an obtuse angle, an angle greater than 90 degrees. 所以我们实际上期望它的余弦是负的。所以这只是一个预测。
让我们看看这些数字是如何证明这一点的。插进去，我们得到2的平方，也就是4+3的平方， 也就是9-12余弦C=16。减去9和4。 我们得到-12余弦C = 16 - 9 - 4,这是3。Divide by -12, we get cosine(C) = 3 divided by -12, 或者-3/12，也就是-1/4。
所以实际上，余弦是负的。答案是D。 你不需要记住这里讨论的规则。不过，对他们做足够多的练习题是很好的，所以 you are familiar with them, and are comfortable with using them. So that way if you have a problem, the test hands you the formula and 说用这个，你已经习惯了。
